经过固定点

斜抛物体经过某固定点时，不同抛射角对应不同的初速度，下面我们来求解所需的最小速度。我们将起点和点相连，转化为斜面上的运动，则可以直接引用上一节的结论，此时

1.轨迹方程

整理成的函数后，跟上一节一样的想法，每一个落点，对应两个不同的抛射角，且两个抛射角相等时，抛射速度最小。由

(相关资料图)

得

2.沿斜面分解

得到

后，结论同上。

3.包络线

将直接代入包络线方程，对应速度即为最小速度。

4.矢量图

跟上一节类似的想法，射程一定时，为定值，且为定值，要使得最小，则，之后所得结论同上。

5.函数思想

得到

后，表示为

然后对求导求最值。由于求导是所有最值问题的通法，本篇只在此介绍一次，当求导计算比较复杂的时候，可以选用其他方法。

其他最值问题

抛至平台

从地面上一点以一定的初速度斜抛物体，落到高度为的平台上，求最大射程。

平台对应的曲线方程为.轨迹方程和包络线的方法同上，矢量图的方法有所区别：

此时实际位移方向不再恒定，但初末高度差为定值。

由能量守恒：

(也可由运动方程得：)。面积

与水平射程成正比。水平射程最大时，三角形面积最大。

则问题转化为：长度不变，求面积的最大值。易知此时，

注：如果是从屋顶往下斜抛，将改成即可。

经过两固定点

如果起点固定，加上另外两固定点，斜抛轨迹就唯一确定。所以这类问题，起点是不固定的，我们只讨论起点在水平面上的情况。

地面与点高度差一定，由于能量守恒，当物体初速度最小时，对应点的速度一定也最小，问题就转化为：从点抛出物体经过点，求点最小速度，求出点速度和抛射角之后，再反推回点的速度即可。

如图所示，一仓库髙25m ，宽40m.今在仓库前l 、高5m 的处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离为多大时（单位：m ），初速度之值最小？

假设屋顶左端为，右端为，初速度最小时，石块刚好经过和.由能量守恒，最小时，经过点速度也最小，问题转化为从点斜抛到点的最小速度，竖直运动时间

水平射程

对应抛射角，将过程反演，看成石块从点往左下方斜抛，水平和竖直速度均为，代入竖直位移方程

得

经过曲面

轨迹方程

斜抛刚好经过曲面时，对应轨迹刚好与曲面相切，联立轨迹方程和曲线方程，“相切”=“重根”。得到根的判别式方程，之后分析过程同上。

包络线

如果物体是从固定点斜抛，当轨迹刚好与曲面相切时，包络线也刚好与曲面相切，联立包络线和曲线方程，也可以求解。

一物体从半径为的球面顶端斜抛，求不与球面相碰的最小速度。

以抛出点为原点，联立圆的方程和包络线方程

得

令，得

练习

如图所示，一人做射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上（已知水平线离地面高度为，枪与靶相距为，子弹发射速率为，且. 求圆心高度和圆的半径.

答案：

一根直径20cm的树干平放在水平的地上。一只懒惰的蚱蜢想跳过树干，求蚱蜢满足条件的最小离地速度（忽略空气阻力）。

答案：